基础数学 Math Misc

Tiger Book Chapter 2: Miscellaneous Math
Games 101 Lecture 2: Review of Linear Algebra

基本线性代数

Vector Operations

Dot Product 点积

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \phi$
笛卡尔坐标系下的计算：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$
几何理解：点积的结果是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模长乘以它们夹角的余弦值，表示两个向量在同一方向上的投影长度。
余弦相似度：$\cos \phi = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$，经常用于衡量两个向量的相似度：机器学习等。

Cross Product 叉积

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \sin \phi$
几何理解：叉积的结果是垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的向量，方向由右手定则确定，模为向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所张平行四边形的面积。
右手坐标系：在笛卡尔系的基础上定义：$\mathbf{x} = (1, 0, 0)$, $\mathbf{y} = (0, 1, 0)$, $\mathbf{z} = (0, 0, 1)$，则有
- $\mathbf{x} \times \mathbf{y} = \mathbf{z}$
- $\mathbf{y} \times \mathbf{z} = \mathbf{x}$
- $\mathbf{z} \times \mathbf{x} = \mathbf{y}$
笛卡尔坐标系下的计算：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (y_a z_b - z_a y_b, z_a x_b - x_a z_b, x_a y_b - y_a x_b)$

Matrix Operations

解析几何

Tiger Book 第二章可以说是对高中生都非常友好的入门材料。这章内容涵盖了集合与函数、笛卡尔坐标系、三角函数、曲线的隐函数和参数方程等，基本上是高中数学几何部分的全部。在此之上需要记录的是展开到三维空间的内容。

Curves and Surfaces

Implicit Curves 隐函数曲线:

形如 $f(x, y) = 0$ 的曲线表示方法。$(x, y)$ 作为二维向量 $\mathbf{p}$，则隐函数可以表示为 $f(\mathbf{p}) = 0$

例如圆的隐函数方程：$f(x, y) = x^2 + y^2 - r^2 = 0$，或者 $f(\mathbf{p}) = \|\mathbf{p}\|^2 - r^2 = 0$。
隐函数 $f(x, y)$ 是一种势函数 $c = f(x, y)$ 的等值线。这里 $x$ 和 $y$ 都是自变量，因此 $f$ 的梯度 $ \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$ 是势函数 $c$ 的切向量，同时是等值面 $f(x, y) = 0$ 的法向量。对于三维曲面同理：$\mathbf{n} = \nabla f(\mathbf{p}) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$。
二维直线 $f(x, y) = Ax + By + C = 0$：
- 法向量 $\mathbf{n} = (A, B)$
- 对于任意点 $\mathbf{p} = (a, b)$，$\mathbf{p}$ 到直线的符号距离为 $d = \frac{f(a, b)}{\|\mathbf{n}\|} = \frac{f(a, b)}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，正负表示点在直线的两侧。同时，显然，对任意 $(x, y)$，$f(x, y) = c$ 的值与点到 $f(x, y) = 0$ 的符号距离成正比。
三维平面：
- 任意点 $\mathbf{p} = (x, y, z)$ 和平面上的三点 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$
- 若 $\mathbf{p}$ 在平面上，则平面方程：$f(\mathbf{p}) = (\mathbf{p} - \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} = (\mathbf{p} - \mathbf{a}) \cdot ((\mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{a})) = 0$。展开式为： \[\begin{vmatrix} x - x_a & y - y_a & z - z_a \\\\ x_b - x_a & y_b - y_a & z_b - z_a \\\\ x_c - x_a & y_c - y_a & z_c - z_a \end{vmatrix} = 0\]
- 对任意点 $\mathbf{p}$，$(\mathbf{p} - \mathbf{a}) \cdot ((\mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{a}))$ 的值为由 $\mathbf{p}-\mathbf{a}$，$\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{c}-\mathbf{a}$ 张成的平行六面体的体积。
- 符号距离对三维平面显然还成立。

三维直线没有单个隐函数方程的形式，但两个平面确定一条直线，可用两个平面的隐函数方程描述。

Parametric Curves 参数曲线（方程）: 对于三维曲面，参数方程 $[x, y, z] = \mathbf{p}(u, v)$，其中 $u$ 和 $v$ 是参数。

法向量 $\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v}$

隐函数和参数方程的导数几何含义：前者是隐函数曲线/面的法向量，后者是参数曲线/面的切向量。

Triangles

Area of Triangle 顶点 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$，
- 通过叉积计算面积：
  - 二维 \[\text{Area} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_b - x_a & y_b - y_a \\\\ x_c - x_a & y_c - y_a \end{vmatrix} \right|\]
  - 三维 \[\text{Area} = \frac{1}{2} \left\|| (\mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{a}) \right\||\]
Barycentric Coordinates 重心坐标
- 对于三角形 $\triangle ABC$，任意点 $\mathbf{p}$ 可以用重心坐标 $\alpha, \beta, \gamma$ 表示：
\[\mathbf{p} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \gamma \mathbf{c}\]

\[\alpha + \beta + \gamma = 1\]
- 有什么用？将属性值（如颜色、纹理坐标等）从顶点插值到三角形内部的任意点。
- $\mathbf{p}$ 在 $\triangle ABC$ 内部当且仅当 $\alpha, \beta, \gamma > 0$；$\mathbf{p}$ 在 $\triangle ABC$ 顶点时，$\alpha, \beta, \gamma$ 中有一个为 1，其余为 0；$\mathbf{p}$ 在 $\triangle ABC$ 边界上时，两个坐标为正，一个为 0。
- 重心坐标可以通过面积比（2D 隐式直线的距离正比性质）计算，$\alpha, \beta, \gamma$ 的几何意义是 $\mathbf{p}$ 到三角形各顶点的面积比： \[\alpha = \frac{\text{Area}(\triangle PBC)}{\text{Area}(\triangle ABC)}, \quad \beta = \frac{\text{Area}(\triangle APC)}{\text{Area}(\triangle ABC)}, \quad \gamma = \frac{\text{Area}(\triangle ABP)}{\text{Area}(\triangle ABC)}\]
- 对于三维三角形 $\triangle ABC$，重心坐标用法向量计算三角形面积比（计算时注意方向）。 \[\alpha = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n_a}}{||\mathbf{n}||^2}, \quad \beta = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n_b}}{||\mathbf{n}||^2}, \quad \gamma = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n_c}}{||\mathbf{n}||^2}\] 其中 $\mathbf{n} = (\mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{a})$ 是三角形的法向量，\[\mathbf{n_a} = (\mathbf{c} - \mathbf{b}) \times (\mathbf{p} - \mathbf{b}), \quad \mathbf{n_b} = (\mathbf{a} - \mathbf{c}) \times (\mathbf{p} - \mathbf{c}), \quad \mathbf{n_c} = (\mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (\mathbf{p} - \mathbf{a})\]